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Función Zeta de Riemann, Interferencia de funciones, y distribución de números primos   Leave a comment

(Actualizado el 20 de abril)

He representado aquí el orden de los números primos entre los números 1 y 100.

Distribuyendo los números naturales en dos columnas, una par y otra impar, podemos formar diferentes funciones con los distintos números primos, sumando cada uno de ellos dos veces (una en la columna par y otra en la impar), de manera periódica.

He separado esas funciones en columnas para los primos 3, 5, 7 para que se vean más claramente sus diferentes longitudes o ciclos, las frecuencias de la función, y desde el valle de cada onda he proyectado una línea de puntos que llega hasta la primera columna impar de la izquierda apuntando a un numero que será no primo. Estas líneas de puntos representan las interferencias que sobre las franjas de las longitudes de la función 3 – en las que se sitúan todos los números primos – causan las funciones de los otros primos.

Así, los números primos en la primera columna de números impares serán solamente aquellos que se encuentren en una franja que no se ha visto afectada por ninguno de los valles de las funciones de onda de los otros primos distintos de 3.

En realidad lo que estamos haciendo aquí es representar visualmente las sumas y multiplicaciones de primos, es como una hoja calculadora. Pero para determinar si un número es primo, no necesitamos verificar si es divisible por todos los números naturales que le preceden si no solo verificar si los ciclos de los números primos que le preceden son o no múltiplos de 3, como ahora veremos.

Vemos que al principio el orden de los primos es muy claro, van de dos en dos (5,7), (11,13), (17,19), lo que se llama “primos gemelos”, intercalándose con un no primo, (9, 15, 21) hasta llegar al número 23 donde el orden esperado se pierde porque el 25 no es primo. Ello es debido a que la “primaridad” que cabría esperar en el siguiente número, el 25, queda “desactivada” (por así decirlo, no se vayan a enfadar los puristas) por la función que describe el primo 5 cuyo segundo ciclo proyectado interfiere con el cuarto ciclo de la función 3. El segundo ciclo de la función 5 representa que hemos sumado 5 veces el número 5, es decir, la interferencia significa que 25 es divisible por 5, con lo que no es primo.

Y así ocurre en todos los demás casos en los que en número no es primo, siempre hay un ciclo de una función prima que interfiere con la función 3

Entonces los números primos se sitúan siempre, como no puede ser de otra forma, en los espacios libres que existen entre las diferentes longitudes (entre cresta y cresta) formadas por el número primo 3, que no estén interferidas por los valles de las funciones de otros primos. (Podemos pensar en estas funciones como funciones de onda si queremos).

Tomemos como ejemplo la segunda columna que describe la frecuencia del primo 3. Las longitudes de la onda las formamos contando tres números de forma ascendente en la columna hasta el número 9. Y la amplitud de la onda la formamos sumando 3 desde la columna impar y proyectando una línea diagonal hasta el número 6 de la columna par. El valle de la onda donde termina la longitud se forma sumando otros 3 y trazando una diagonal desde el número 6 par hasta el número 9 impar. Entonces en la columna de pares, la onda tiene una sola posición, el 6, desde el valle 3 hasta la cresta 6, y dos posiciones numéricas, los 8 y 10, desde la cresta hasta el siguiente valle que es número 9. La onda supone que hemos sumado tres veces el número 3.

Y así lo vamos haciendo en las columnas de los demás primos: tomamos la columna impar de la frecuencia del 5. Y ocurre que la longitud de su onda nos viene dada al contar desde el primo 5, hacia arriba, 5 posiciones hasta el 15: subiendo 5 posiciones por la columna impar estamos sumando 3 veces el número 5, estamos multiplicando el número 5 por 3.

Hacemos los mismo con la frecuencia del 7. La longitud viene dada contando 7 posiciones desde el primo 7 hacia arriba, hasta el número 21, la amplitud resulta de sumar a 7 otros siete en la columna par, y el valle al sumar otros 7 en la columna impar.

No he dibujado la frecuencia del primo 11. He dibujado la frecuencia del primo 13 para que se viera la menor amplitud y la mayor longitud, pero para formar los primos que están entre los números 1 y 100 bastan las frecuencias de los primos 3, 5, y 7.

Es interesante ver visualmente con los distintos colores cómo en diferentes impares no primos confluyen interferencias de diferentes funciones, por ejemplo en el 15, la del 3 y la del 5; en el 21, la del 3 y la del 7, etc. La confluencia representa los dos números que forman ese número no primo.

Riemann desarrolló una “función Zeta” para determinar la frecuencia con que se presentaban los primos, ya que los matemáticos no saben por qué los primos aparecen en el orden en que lo hacen, y en ellas había una “franja crítica” en cuyo centro se encontraría una línea crítica (en la que se situarían lo que llamó “ceros no triviales”) donde se situarían los números primos.

Aquí tenemos también funciones que hemos representado de manera separada, y tenemos una franja “crítica” y una línea crítica donde se sitúan todos los primos que viene dada por la función del primo 3. La franja se ensancha o se estrecha dependiendo de si es interferida por las funciones de otros primos. Sería como una descomposición o separación de la función de Riemann en diferentes funciones, como cuando separamos la luz en sus diferentes colores al pasar por un prisma, obteniendo las diferentes funciones de onda de cada primo. Supongo que el fenómeno de interferencia entre ondas estará muy estudiado y sería entonces aplicable al estudio de los primos y a la encriptación o la criptografía que con ellos se construye en la actualidad.

Aquí la franja y la línea crítica no se presentan como un continuo sino en trocitos fragmentados de forma horizontal, dentro de cada ciclo de la función 3, porque hemos separado todas las funciones de los primos. Respecto a los ceros triviales y no triviales de Riemann, considerando como cero de las funciones el valle de cada función (opuesto a la amplitud o cresta) podríamos interpretar como ceros triviales los valles de la función 3 que determinan los límites inicial y final de las franjas críticas de la función 3, y como ceros no triviales los valles de la funciones distintas de tres que recaen proyectados (que interfieren) dentro de las franjas críticas de la función 3. Los puntos en los que no haya ceros triviales ni no triviales serían correspondientes a números primos.

Si Riemann detectó a través de sus ecuaciones abstractas basadas en la frecuencia de aparición de los primos que estos recaían siempre dentro de una misma franja, esa franja crítica de Riemann de alguna manera tiene que estar relacionada con las franjas representadas aquí donde se sitúan los primos. Un número va a ser primo siempre y sólamente cuando se encuentre dentro de una de esas franjas no interferidas. Pero el problema es que ni Riemann ni los matemáticos saben exactamente qué es (o a qué se parece en la nturaleza) la función zeta de Riemann, ni tampoco saben por qué los primos surgen de la forma en que lo hacen.

Entonces mucho me temo que, que como los matemáticos trabajan a tientas con ecuaciones diferenciales realizando operaciones cuyo significado desconocen, y no tienen referencias visuales, si ven esta representación van a decir que qué tiene que ver esto con las funciones Zeta de Riemann, sus ceros no triviales o la franja y la línea crítica.

En cualquier caso, el orden de los números primos no parece ningún misterio difícil de descifrar, sino más bien algo perfectamente lógico y comprensible.

Pero tenemos que partir, aunque lo escriba aquí al final, de qué es un número primo. Un número primo es un número impar que no está formado por dos números primos, sólo puede formarse a partir de un número par +1 o un número par -1. (es decir, para obtener un número entero, el primo sólo puede dividirse por sí mismo o por 1). Una vez que tenemos ese nuevo número primo, podemos construir con él nuevos números impares que ya no serán primos. Por eso se dice que son como los ladrillos, los átomos o las células del edificio o el organismo matemático. Son como bloques primeros a partir de los cuales se pueden formar estructuras.

[Todos los números se forman a partir del 1, sumando números 1; con 1 más 1 formamos el 2. Y decimos que el 2 es primo, y podemos formar nuevos números a partir del 2, sumando números 2 (el 2, el 4, el 6, etc). entonces también podemos formar nuevos números sumando el 4 o el 6, pero estos van ser números siempre referenciados al dos, que se pueden descomponer en grupos de 2 sin que sobre ninguno. Pero cuando al 2 le sumamos 1, necesitamos crear un nuevo número, el 3, que ya no va a estar referenciado al 2 (no va a ser múltiplo de 2) sino al 1. Es decir, no podemos descomponer el 3 en grupos de 2 sin que sobre ninguno, va a sobrar 1, solo podemos descomponerlo en grupos de 1. Entonces el 3 es un primo, un número primario. Con el 3 podemos formar nuevos números como el 6 o el 9, que podrán descomponerse en grupos de 3 sin que sobre ninguno, de manera que esos nuevos números referenciados al 3 (“múltiplos de” 3) no serán ya primos. Si al 3 le sumamos 1 obteniendo el 4, el 4 no va a ser primo porque aunque no podamos descomponerlo en grupos de tres sin que sobre ninguno (sobraría 1), sí podemos descomponerlo en grupos de 2. Es por eso que ninguno de los números pares es primo, porque tienen todos como base (están todos referenciados al, su número primo básico es, son divisibles por) el número primo 2. El 2 es el único número par que es primo.]

Aquí les he hecho un gráfico más claro:

Vemos que entre los primos que hay entre 1 y 100, hay 9 grupos que van por parejas “gemelas”, 2 y 3, 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, 41 y 43, 59 y 61, 71 y 73. Y hay 9 que van sin pareja que son 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89 y 97.

Los que van por parejas lo hacen porque son dos impares los que caben dentro del intervalo marcado por la adición repetida del primo 3, que es el impar primo menor.

Analizando visualmente a los que van sin pareja, podemos ver cuál sería su pareja “fallida” de primaridad y ver si se encuentra situada antes o después de ese primo no emparejado:

Y vemos, siguiendo los colores del primo que los “desactiva”, el verde para el 5 y el rojo para el 7, que (sólo he mirado entre los que están entre el 1 y el 100) siguen el orden de intercalación de arriba (después), abajo (antes), arriba (después), abajo (antes)…

Pero esto no nos dice mucho respecto a qué frecuencias van a causar interferencia en la función de longitud 3. Sí nos dice más en cambio que el primer ciclo de cada una de las otras funciones de primos diferentes de 3 no van a causar interferencia con la función de longitud 3.

Qué ocurre si contamos las interferencias que tienen lugar a partir de ese primer ciclo? Pues a simple vista parece que tampoco van a causar interferencia sobre la función de longitud 3 las demás funciones de primos cuyos ciclos sean múltiplo de 3: así por ejemplo, tomando la función de longitud 5, vemos que el primer ciclo no causa interferencia porque su longitud termina en el impar no primo 15, que no está dentro de la franja de primaridad de la función de longitud 3. Contando los ciclos que hay en la función de longitud 5 a partir de ese primer ciclo, tenemos 3 ciclos más que terminan en 45, que es otro impar no primo porque no está en la franja de primaridad de la función 3. Si contamos tres ciclos más en la columna de impares de la función 5, tampoco se produce interferencia porque se llega al impar 75, y lo mismo ocurre si contamos 3 ciclos más para llegar al 103.

Haciendo lo mismo con la función 7, el primer ciclo no interfiere porque termina en 21. Si contamos 3 ciclos más, tampoco hay interferencia porque termina en 63.

Pero esto de momento lo dejo como hipótesis a verificar porque para verlo en más casos tengo que continuar con las columnas.

Los matemáticos se han dedicado a estudiar y crear conjeturas en teoría de números sobre las distancias que existen entre primos, lo que se conoce como “gap prime” o espacio entre primos. Para nosotros es obvio entonces el caso del espacio que existe entre primos gemelos, por ejemplo vemos que hay un gap de un ciclo entre primos gemelos cuando se intercala un primo que no es gemelo como ocurre en el ciclo 3 de la función prima 3, que alberga dos primos consecutivos o dos primos gemelos (17 y 19), el ciclo 4 que alberga un sólo primo (23), y el ciclo 5 que vuelve a albergar dos primos gemelos (29 y 31).

Y hay un gap de dos ciclos en los intervalos 7 a 10 de la función 3: el ciclo 7 alberga dos primos gemelos (41 y 43), el ciclo 8 alberga un sólo primo (47), el ciclo 9 alberga un sólo primo (53), y el ciclo 10 alberga de nuevo dos primos gemelos (59 y 61).

El mayor gap entre primos en los números 1 al 100 se da a partir del ciclo 12, que alberga dos primos gemelos (71 y 73), y que va seguido de cuatro ciclo consecutivos (los ciclos 13, 14, 15 y 16) que albergan un sólo primo. El ciclo 17 alberga de nuevo dos primos gemelos, (101 y 103).

Entonces tenemos
Gap 1 ciclo: ciclo 3 (primos 17 y 19), ciclo 4 (primo 23), y ciclo 5 (primos 289 y 31)
Gap 1 ciclo: ciclo 5 (primos 289 y 31), ciclo 6 (primo 37), y ciclo 7 (primos 41 y 43)
Gap 2 ciclos: ciclo 7 (primos 41 y 43), ciclo 8 (primo 47), ciclo 9 (primo 53), y ciclo 10 (primos 59, 61)
Gap 1 ciclo: ciclo 10 (primos 59, 61), ciclo 11 (primo 67), y ciclo 12 (primos 71 y 73)
Gap 4 ciclos: ciclo 12 (primos 71, 73), ciclo 13 (primo 79), ciclo 14 (primo 83), ciclo 15 (primo 89), ciclo 16 (primo 97), y ciclo 18 (primos 101 y 103)

Entonces la siguiente pregunta que surge es ver cómo se va incrementando el gap entre primos.

Pero la pregunta que a mí más me llama ahora mismo es la de ver si hay también gaps de ciclos que no alberguen ningún primo, es decir lo que sería “primos no gemelos”, porque experimentan una doble interferencia consecutiva, y cómo se va incrementando a medida que se incorporan nuevas funciones de primos.

Entre los números 1 a 100 sí que hay tres impares consecutivos que no son primos, el 91, 93 y 95, pero estos no serían no primos gemelos si no no primos “mellizos” porque están albergados en la franja crítica de distintos ciclos (el 91, que corresponde al ciclo 15, y el 95 que corresponde al ciclo 16); (El 93 no está en la franja crítica o de primaridad de la función 3 porque es múltiplo de 3). Habría que ver cuáles son los ciclos de la función 3 que en la misma franja crítica albergan dos no primos consecutivos.

Entonces he representado de nuevo las funciones primas separadas para los primos entre 1 y 400 y vemos que sí salen gemelos no primos (los he resaltado a continuación en amarillo): 119 y 121, 143 y 145, 185 y 187, 203 y 205, 215 y 217, 245 y 247, 287 y 289, 299 y 301, 323 y 325, 341 y 343.

Supongo que a estos números no se los conoce de esta manera como “no primos gemelos”. Otra cosa interesante que se puede observar es que hay una ciclicidad en la forma en que los primos crean la interferencia.

Por ejemplo la función prima 7 es la que interfiere con los no primos 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259, 287, 301, 329, 343, y 371. Entre ellos se va alternando la diferencia 28, 14, 28, 14, etc. Excepto para la diferencia entre 161 y 203, y para 217 y 259 que están separados por 42; en ambos casos ocurre que no he computado el 175 ni el 245, ya que aunque también interfieren con ellos, en ellos el primer primo que crea la interferencia no es el 7 sino el 5.

La función prima 11 interfiere con el 121, 143, 187, 209, 253, 275, 319, 341, que tienen entre sí como diferencia 22, 44, 22, 44, etc.

La función prima 13 interfiere con el 65, 169, 221, 247, 299 y 377. Aparentemente en este caso no hay una periodicidad porque las diferencias entre ellos son 104, 52, 26, 52 y 78. Pero 52+52 = 104, y 26+78 = 104

La función prima 17 interfiere con 289, 323, 391. La diferencia entre ellos es 34 y 68

La función prima 19 interfiere con el 361.

Sólo estas funciones crean interferencia relevantes (si hay varias funciones primas que interfieren computo sólo la primera) para determinar la formación y distribución de los primos entre los números 1 y 500.










Los primos que van a pareciendo coloreados en rosa en las columnas describen una línea diagonal que sin embargo no es recta o continua porque se va escalonando a medida que van apareciendo las interferencias en la franja crítica de la función 3 que impiden al impar o impares en cuestión ser primos, subiendo la pendiente de la diagonal en uno, dos, o más escalones consecutivos de no primos.

En estos gráficos que he hecho en negro se ve claramente además cómo opera el cálculo. Los impares que están en la función 3 fuera de la franja crítica son aquellos que son divisibles por tres, por ejemplo el 9 o el 27. (Con el nueve podemos formar tres grupos de tres, y con el 27 podemos formar nueve grupos de tres).

Si cogemos el impar 87, vemos que tiene marca en la función 3 fuera de la franja crítica, luego no es primo, y tiene marca en la función 29. Eso quiere decir que es divisible por 3 y por 29 (con ochenta y siete podemos formar veintinueve grupos de 3 o tres grupos de veintinueve).

Los impares que estando dentro de la franja crítica no son primos, es porque no son divisibles por tres pero son divisibles por el número primo de la función que interfiere sobre ellos. Por ejemplo el número 85 tiene marca en la función 5 y en la 17, luego es divisible por esos dos primos. en la columna de la función 3 no tiene ahí ninguna marca, pero vemos que hay una marca en la función 19. El número 169 que está en la franja crítica está interferido sólo por la función prima 13, ello quiere decir que sólo es divisible por 13, (es decir que con 169 sólo podemos formar trece grupos de trece).

Por otra parte, otra regla que parecen seguir las interferencias, aunque habría que verificarla más despacio, es que como hemos dicho el primer ciclo de cada función nunca interfiere con la función 3 porque siempre va a coincidir con un número fuera de la franja crítica, con unos ceros no relevantes, va a ser múltiplo de 3. Sin contar este primer ciclo, el siguiente ciclo va a interferir siempre en la franja crítica de la función 3 pero por debajo del siguiente número impar que va a estar fuera de la franja crítica (por debajo de los siguientes ceros no relevantes); el siguiente ciclo va a interferir también con una franja crítica de la función 3, por encima de impar anterior que va a estar fuera de la franja crítica, es decir, por encima de los ceros triviales anteriores; el siguiente ciclo, que será el tercero si no consideramos en este cómputo al primer ciclo, no va a interferir nunca con una franja crítica de la función 3 porque recae un un impar que está fuera de una franja crítica. Y así se iría repitiendo este proceso de manera periódica para todas las funciones primas distintas de 3:

Respecto a la hipótesis de Riemann que nos dice que todos los ceros no triviales tienen una parte real y una imaginaria, pienso que el principal, si no el único problema radica en comprender conceptualmente qué son la franja crítica y la línea crítica de la función Zeta de Riemann, y qué son los zeros triviales y los no triviales.

En este sentido he hecho este gráfico para tratar de explicarlo:

La franja crítica es la que se encuentra dentro de la longitud de un ciclo de la función de tres, y sus límites son los números que son múltiplos de tres. La línea crítica debe encontrarse entonces dentro de esa franja.

Los ceros triviales son los valles de la función 3 (y las amplitudes o valles de otras funciones que coincidan con ellos por ser múltiplos de 3), que son triviales porque no causan interferencia al estar fuera de la franja crítica.

Y los ceros no triviales son los valles de las funciones primas diferentes de 3 que causan interferencia en la franja crítica, según está representado en el gráfico de arriba.

Pero sabemos además, esa es la hipótesis de Riemann, que los ceros no triviales tienen que tener una parte real y una parte imaginaria, y que por ellos debe pasar la línea crítica que es donde se sitúan los número primos. Entonces necesitamos una perspectiva diferente, y esta aparece cuando proyectamos la función prima que interfiere, por ejemplo la función 5, sobre la función 3. Y vemos cómo la función 3, partiendo del mismo punto 30 que la función 5 se desvía separándose, para llegar en valle al punto 35, y de ahí a la cresta o amplitud 40. Y vemos cómo hay un punto de intersección entre la función 3 y la función 5, que coincide por el lugar por donde pasa la línea crítica conde se encuentra el primo 37. De manera que el cero no trivial tiene una parte real en el punto 35, y una parte imaginaria que es el punto de intersección de la función 3 y la función 5:

Pero esta interpretación solo tiene sentido para mi, en principio, cuando dentro de la franja crítica solo hay un primo porque se ha producido una interferencia dentro de ella, es decir, porque hay un cero no trivial de otra función que impide a uno de los impares ser primo. En los casos de dos primos consecutivos o primos gemelos dentro de la franja crítica, no veo cómo pueden haber dentro de la franja ceros no triviales, con lo que no habría parte real aunque pudiera haber una parte imaginaria si logramos la intersección con un ciclo de otra función que no interfiere, dando opción a que haya una línea crítica en el medio de ambos primos. Tal vez forzando esta interpretación de los ceros triviales y no triviales de Riemann podríamos admitir que fueran ceros no triviales los puntos en que se encuentran situados cada uno de los primos gemelos en la franja crítica. Pero aun en ese caso tendríamos dos partes reales de 1/2, o sea 2/2, por una parte imaginaria. Y eso no parece que sea lo que supuso Riemann, con lo que su función no sería suficiente para determinar la distribución de los primos.

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20 de Abril 2020

Entonces, pienso que la relación entre los ceros no triviales de la función Zeta de Riemann y la distribución de los números primos es la siguiente:

Toda franja crítica se encuentra dentro del espacio formado por los valles de dos ciclos consecutivos de la función prima 3.

Todo cero trivial se encuentra fuera de la franja crítica en cada valle de la función 3 cuando este converge con el valle de una función prima armónica ( ej. en -33 y -39 en la función 3 si el valle de otra función prima convergiera allí)

Todo cero no trivial (ej. -35 en la función 3) se encuentra dentro de la franja crítica de la función 3 en el punto de divergencia con una función prima armónica cuyo valle entra en la franja crítica de la función 3 hasta llegar al punto de cero no trivial (ej. -35 en la función 3) que tendrá una -1/2 parte real (ya que la franja crítica tiene espacio para dos partes reales).

Si no hay otro cero no trivial en la franja critica, en la posición real restante – habrá un número primo sin zero no trivial real pero con un +1/2 zero no trivial imaginario en el plano complejo que resulta de la intersección de la función 3 y su función ortogonal (en el ejemplo, la función 5) cuando el ciclo de la función 3 comienza una trayectoria negativa (ej. de +36 a -39) y el ciclo de su armónica prima comienza una trayectoria positiva (ej. de -35 a +40).

Cuando no hay ningún cero no trivial en la franja crítica porque ninguna función prima causa interferencia con la función 3, los dos impares de esa franja crítica serán primos consecutivos o gemelos.

Cuando no hay ceros no triviales en la franja crítica porque ninguna función prima interfiere con la función 3 en ese ciclo, los dos impares de esa franja crítica serán no primos consecutivos o gemelos.

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18 Abril 2020

He visto que en la revista Nature publicaron ahora hace un año un artículo de unos investigadores australianos que parecen haber elaborado un trabajo sobre interferencias en los los números primos basándose también en funciones separadas. No puedo entender todo su trabajo por las ecuaciones que tiene, pero sí es claro que están estudiando de forma similar a como lo he hecho aquí los primos desde un punto de vista de la física a través de las interferencias de funciones de onda de luz separadas.

https://www.nature.com/articles/s41567-019-0497-5

“There are many methods for finding prime numbers, some of which date back to antiquity. Timothy Peterson and co-workers have suggested an analogous optical manifestation of the prime number sieve of Eratosthenes by superposing light in multiple diffraction patterns”.

The bright spots of a diffraction pattern generated by a grid serve to label a set of discrete points that represent the integer numbers. By superposing Hermite–Gauss beams on this lattice, the amplitude at each point becomes variable and may be zero or finite, depending on the mode selected. Adding multiple grids corresponding to successive prime numbers mimics the iterative elimination of composite numbers suggested by Eratosthenes. Eventually, a finite value in the far-field diffraction pattern indicates a composite number, zero means a prime.

The authors showed simulations for primes up to 31, and suggested that simpler optical sieves could go even further.”

La criba de Eratóstenes para los primos menores de 20 la pueden ver aquí: https://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Eratóstenes

Y el trabajo de los investigadores australianos de la Universidad de Monash lo pueden leer aquí: https://arxiv.org/pdf/1812.04203.pdf

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