Geometría diferencial, parabólica, e hiperbólica en el Teorema de Pitágoras

Cuando en el Teorema de Pitágoras a y b son iguales, el área a^+b^2 coincide (es equivalente pero no igual) con el área de c^2 porque los 8 lados racionales de a^2 y b^2 equivalen a las cuatro hipotenusas racionales (hay que contar las dos caras de cada hipotenusa) de c^2, y los cuatro lados irracionales de c^2 equivalen a las ocho hipotenusas irracionaes de a^2 y b^2; La hipotenusa de a^2 o de b^2 es la raíz cuadrada de c^2, y la hipotenusa de c^2 es la raíz cuadrada de a^2+b^2.

Cuando a y b no son iguales, por ejemplo cuando a es mayor que b, necesitaríamos hacer cálculos para conocer qué parte de la hipotenusa de c^2 equivale a la raíz cuadrada de a^2 y qué parte se corresponde con la raíz cuadrada de b^2, porque aquí la hipotenusa de c^2 lo que nos da es el valor medio formado por la raíces cuadradas desiguales de a^2 y b^2.

Pienso que este problema es el mismo que se plantea en las derivadas cuando se tiene una gráfica curva, por ejemplo la gráfica de una velocidad que no es constante en función de la distancia y del tiempo. Lo que necesitamos hacer aquí con la hipotenusa y los catetos es lo mismo que se hace para calcular la velocidad específica de un punto concreto de la curva, es decir una derivada.

Entonces podemos hacer una figura proyectando el cuadrado c^2 sobre los cuadrados desiguales a^2 y b^2; la inclinación de la pendiente que es la raíz cuadrada de c^2 viene dada por la tangente que sería la raíz cuadrada de a^2; a continuación hay que desplazar la raíz cuadrada de c^2 sobre la raíz cuadrada de a^2 teniendo como límite h que tiende a cero el vértice de a^2. [En el dibujo he representado “h” como “d(a)” o “d(b)”]

Cuando se construye toda la figura aparece un paralelogramo inclinado.

A diferencia de lo que ocurre cuando a y be son iguales, aquí la hipotenusa de c^2 está desplazada hacia la derecha sobre la tangente que es la raíz cuadrada de a^2 mientras que la raíz cuadrada de a^2+b^2 está tocando el vértice en el que d(a) vale cero. De manera que h(c) > a + b, y el incremento viene dado por d(a) tendente a 1.

Cuando a y b son iguales vemos que h(c) = a + b y que h(a) = c

Cuando a > b, si h(c) > a + b, entonces tiene que haber un decremento que compense este desequilibrio. Y así el sistema se compensa porque h(a) > c y la diferencia viene dada po d(a) tendente a cero.

¿Pero qué ocurre con los elementos de del cuadrado menor que aquí es b^2? Podemos ver si hay compensación en los elementos si fusionamos a^2 y b^2 formando un nuevo cuadrado: la hipotenusa de a^2 + b^2 debería ser igual a 2c, pero resulta que h (a^2+b^2) > 2C

De manera que tiene que haber una compensación y h (c) tiene que ser > a + b en la misma proporción.

Por otra parte, si partimos de un círculo con el cuadrado externo representando a^2 + b^2 y el interno representando c^2, vemos que las medidas de los elementos internos y externos si que se corresponden de la misma manera que cuando a = b, pero en este caso las áreas no son iguales porque el cuadrado externo es obviamente mayor que el interno, y entonces tendríamos que a^2 +b^2 > c^2.

LUna posible explicación a esta aparente incongruencia sería que aquí se están comparando cuadrados o círculos de longitud variable que se expanden y se contraen periódicamente.

Otra expliación sería que se trata de cuadrados cuyas raíces cuadradas tienen una curvatura inversa y distinta de cero: Los lados del cuadrado a^2 + b^2 tendrían una curvatura hiperbólica mientras que los del cuadrado c^2 tendrían una curvatura parabólica.

En esta figura aparecen las llamadas lunas de Hipócrates en las que el área de las cuatro lunas – cada una de ellas tiene como diámetro el lado del cuadrado interior al círculo) se corresponde con el área del cuadrado interior.

La operación inversa sería crear curvaturas hiperbñolicas que tangan como diñametro el lado del cuadrado exterior.

Habría que determinar cuál es el punto tangenete a la curvatura hiperbólica para que el cuadrado hiperbólico coincida con el cuadrado interior por compensación.

Estos incrementos y decrementos podrían expresarse tambien en lenguage del cálculo diferencial por medio de derivadas e integragle sinversas. Espero poder hacerlo más adelante.

La imposibilidad de cuadrar el círculo – obtener un cuadrado cuya área sea la de un círculo – se consideró definitivamente aceptada cuando se demostró la naturaleza transcendental del número Pi. Pero en el círculo tiene lugar el mismo tipo de inesperada precesión que hemos visto que aparece cuando comparamos la hipotenusa de c^2 con las raíces cuadradas de a^2 + b^2.

Pienso que la circunferencia es un área compleja en la que concurren dos tipos de magniotudes de referencia métricas – que pueden entenderse como “gauges” – la racional y la irracional. Cuando desplazamos la coordenada Y o X hacia Z, lo que estamos haciendo es crear un nuevo plano superpuesto a modo de capa sobre el espacio plano sobre el que trabajamos, el plano irracional Z, que se desplaza respecto del plano estático racional de XY. Si pretendemos medir ese plano desde XY el efecto es el mismo que si estuviéramos expandiendo el espacio (cuando desplazamos X o Y hacia Z) o que si lo estuviéramos contrayendo (cuando desplazamos Z hacia Y o X).

El círculo toca las raíces racionales del cuadrado externo en las coordenadas racionales XY, y toca las hipotenusas racionales del cuadrado interno en las coordenadas irracionales Z. Z es irracional desde el punto de vista del cuadrado externo pero es racional desde el punto de vista del cuadrado interno. Y esta diferencia de referencias métricas no se está considerando cuando se compara el diámetro con el perímetro, al considerar sólo las referencias métricas racionales obtenemos una inesperada precesión y la aparición de infinitos decimales.

El sistema está compensado en su conjunto, como media, por los sucesivos incrementos y decrementos de las longitudes de los cuadrados internos y externos que sigue el perímetro pero aparece descompensado cuando lo medimos en un punto específico. Porque todas nuestras mediciones las hacemos en términos de cuadrados de curvatura cero y no estamos considerando que las raíces de los cuadrados internos y externos siguen referencias métricas diferentes.

Otra cuestión a tener en cuenta en el teorema de Pitágoras sería la de considerar que los cuadrados interno y externo del círculo son rotacionales y que rotan con diferente fase. En ese caso, el cuadrado interno rotado tocará el perímetro del círculo con su hipotenusa racional en las coordenadas racionales XY habiendo un decremento de longitud en la coordenada irracional Z, decremento que compensará el incremento que se produce cuando el cuadrado interno no rotado toca el perímetro del círculo con su hipotenusa racional en la coordenada irracional Z (produciéndose la diferencia incremental de forma temporal porque el cuadrado externo tocará con su lado racional el perímetro en las coordenadas XY.

En todo caso las áreas de los cuadrados del teorema de Pitágoras serían coincidentes y no iguales, porque las figuras tendrían signo opuesto (curvaturas inversas) o fases de rotación diferentes.

Un saludo cordial desde Madrid.