Extensiones de Galois y grupos de Lie en la resolución de ecuaciones de quinto y superior grado   Leave a comment

Ya saben ustedes que este blog es especulativo (por cierto el post de los anterior en español sobre números primos no lo he corregido, pero lo desarollé y aclaré más en la versión en inglés), está dedicado a pensar y explorar. (Lo digo para que tengan precaución quienes vengan buscando información para aprender sobre alguna materia).

Hoy les voy a explicar por qué, a mi modo de ver, las ecuaciones de quinto y mayor grado no puede resolverse con radicales, haciendo uso de los grupos de Galois asociados a una extensión de Galois inversa y a los grupos de simetría continuos de Lié representados de forma geométrica en un espacio isométrico (con coordenadas divididas en intervalos iguales). No se asusten si no han entendido nada de este párrafo, son simplemente términos rimbombantes. Aquí lo que cuenta son la figuras geométricas y los conceptos.

Y eso es lo que vamos a explicar:

Primero trazamos una pequeña curva desde el punto 0 al 1, y luego hacemos la operación contraria trazando una curva inversa desde 1 hasta 0. Hemos creado un primero campo que se representa como {01, 10} y determinará la simetría de los campos que derivemos de él. Entonces podemos proyectar la curva 01 hasta el punto 2, y luego hacer la operación contraria para volver al punto 0; pero si pasamos por el punto 1 no vamos a poder mantener la simetría del campo, la figure que resultaría sería diferente, por eso tenemos que proyectar la curva inversa 10 de forma rotacional. Al punto 1 que hemos proyectado hasta la coordenada z lo llamamos 1′ para indicar que tiene una grado mayor de permutación.

Entonces hemos creado un nuevo campo {012, 21’0} que engloba al primero campo {01,10} por lo que es una extensión de este. Eso se representaría como {012, 21’0} / {01,10}.

Podemos crear una nueva extensión con la curva 0123, cuyo inverso será 32’1”0. Aquí, hemos tenido que permutar dos veces el 1 del campo original, y una vez el 2 de la extensión anterior.

Con la curva inversa lo que hacemos es una resta, restamos la curva inversa a la curva anterior para llegar a cero.

La siguiente extensión rotacional será {0124, 43’2”1”’0}

Y entonces llegamos a la siguiente extensión que formamos con la curva 012345 y su inversa. Pero con la inversa aparece ahora un problema, y es que podemos seguir la secuencia de permutaciones como hemos venido haciendo hasta ahora con 54’3”2”’ pero cuando llegamos a la cuarta permutación del 1 resulta que no podemos hacerla manteniendo la simetría porque no está ahí, ahí lo que está es, de nuevo, el 1 original.

Si esto fuera una ecuación cuártica, de cuarto grado, en la que hay cuatro permutaciones o exponenciaciones, no pasaría nada porque el 1 va a seguir siendo 1 en todo caso.

Pero si hacemos una nueva extensión hasta el punto 6 con la curva 0123456, su inversa va a ser 65’4”3”’21’

Lo ven? donde debería haber un 2 con cuatro permutaciones 2””, nos encontramos el 2 original de la primera extensión. Si queremos mantener la simetría de la figura, tenemos que pasar por ese 2, y desde ahí podemos seguir con el 1′ y el 0.

Desde el punto de vista geométrico, la simetría del grupo parece que se respeta y hay una aparente continuidad, al ser la figura plana, no hemos tenido que hacer un salto para trazar ninguno de los subcampos anteriores ni éste. Pero desde un punto de vista algebraico, hemos tenido que dar un salto desde el inexistente 2”” hasta el existente 2. Ese salto es lo que impide que podamos resolver con radicales (suma, resta, multiplicación, división y raiz cuadrada) el polinomio cuando este es de quinto grado o de otro grado superior. Porque el valor de la cuarta permutación de un número no va a ser el mismo que el valor de ese número no permutado, a menos que se trate del número 1.

Es lo que ocurriría si la figura geométrica en lugar de ser plana fuera una torre ascendente. Hay una escalera en forma de caracol que permite subir a todos los pisos, pero para bajar cada piso tiene su propia escalera de caracol. Así, para bajar de la planta 2 tendríamos la escalera 21´0. Para bajar de la planta 4 tendríamos la escalera 43´2´´1´´´0.

Pero la escalera de bajada de la planta 6 sólo nos permite bajar hasta la planta tres (65’4”3”’); Para bajar desde ahí a la planta 2 y luego a la 1 ya no podemos usar la escalera de bajada de la planta 6 porque su parte 2”” y su continuación 1””’ no existen; para continuar descendiendo hasta la planta 0 tendríamos que usar la escalera de bajada de la planta 2, pero esa escalera solo está accesible para bajar cuando subimos a la planta dos no cuando subimos a cualquier otra planta. Cada planta tiene su propia escalera de bajada y no se puede usar la de las demás.

A los subcampos que hay dentro de la extensión del campo original, que serían subextensiones, se les llama “Grupos de Galois”.

Ahora bien, quedaría pendiente aclarar un poco más el paso de la relación entre exponenciaciones como permutaciones en la resolución de los polinomios y la permutaciones como exponenciaciones en los campos que forman las extensiones de Galois y los grupos continuos de Lie.

No he representado en la figura de arriba los campos que podrían crearse tomando como inicio una curva sobre una de las coordenadas Z. Pienso que esos campos no serían continuos con respecto a los que he representado.

Por otra parte, en las coordenadas he usado un mismo tipo de intervalo igual, que sería racional. Pero también sería posible construir otro tipo de campos en base a otro tipo de intervalo que sería irracional. Y entonces habría que examinar cómo se comportan estos dos tipos de campos coexistiendo en un mismo espacio. Esto ya lo comenté hace tiempo en varios posts en este blog, cuando dividí las coordenadas en base a los intervalos que resultan de la simetría interna del cuadrado de área 1 ( o uno de sus cuatro cuadrados de área 0,25) con raíz racional e hipotenusa irracional y del cuadrado de área 2 (o uno de sus cuatro cuadrados de área 0,5) con raíz irracional y área racional.

Tengan ustedes una muy feliz semana

Publicado mayo 18, 2020 por also65 en Uncategorized

A %d blogueros les gusta esto: