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Grupos de Galois y orden de los números primos

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Es posible encontrar un orden lógico para determinados números primos que representando extensiones de Galois siguen un mismo grupo de simetría de Galois, teniendo además cada elemento correspondencia con su par antisimétrico.

Así: (7+83), (11 + 79), (19 + 71), (23 + 67), (31 + 59), (43 + 47) = 90

Estos números primos serían extensiones que siguen una mismo grupo de Galois.

Pero por qué he elegido estos números y he llegado a esta distribución? Lo he hecho representando lo que para mi serían extensiones de Galois, de la siguiente manera:

He partido de un cuerpo inicial formado por dos curvas de signo opuesto que comienzan de un punto cero y llegan a un punto 1 en el eje Y. (También podría haberlo representado de forma similar usando rectas).

(Pienso que esto aquí no es importante, pero diré también que los ejes de coordenadas están divididos en intervalos iguales que son los puntos rojos. Estos intervalos son la longitud del segmento que se mide en Z desde el punto cero hasta el centro del cuadrado de área 0,25, que repetido llega hasta el centro del cuadrado de área 1 y el de área 4, ect).

A partir de este cuerpo base podemos prolongar las curvas opuestas de forma rotacional, siguiendo los ejes de coordenadas, cada prolongación al siguiente eje implica elevar un grado la posible extensión que surgirá como cuerpo cuando converjan en un eje las dos curvas opuestas.

De esta manera la primera extensión que obtenemos es una extensión de grado 5 en Y – que está invertida respecto al cuerpo inicial de grado 1 que contiene.

Si prolongamos esta extensión 5Y – hasta la siguiente convergencia vemos que la siguiente extensión que surge es de grado 9 en Y+ (no la he representado en la figura de arriba) , y desde ahí podemos continuar creando extensiones mayores alternando Y – e Y +.

Pero y cómo creamos los subcuerpos (o subextensiones) intermedios entre las extensiones que acabamos de crear y el cuerpo incial de grado 1? Esta pregunta pienso que estaría relacionada con el problema inverso de Galois y con el problema de la inmersión. Para crearlas necesitamos replicar el cuerpo inicial de grado 1. Podemos hacerlo de varias formas, creando los dos cuerpos complejos conjugados que son su reflejo de espejo en Z + y Z+, y prolongando esas curvas hasta que converjan en alguna coordenada; o también creando en X + y X – las curvas inversas a las curvas originales que formaron el campo 1. Voy a hacerlo de esta última manera para formar una extensión de grado 3 en Y +:

De esta manera, podemos crear todas las extensiones partiendo de los nuevos cuerpos de grado 1, manteniendo la misma estructura y simetría en cualquier grado. Pienso que estas estructuras serían grupos y extensiones de Galois relativos a números complejos e hipercomplejos:

Pero volviendo a la extensión de grado 3, que es la de la que va a surgir esta secuencia de primos que comentaba al principio, si la prolongamos hasta la siguiente convergencia en el eje Y, encontraremos una extensión de grado 7 en Y-, después una de grado 11 en Y +, y así sucesivamente alternando Y+ e Y – hasta llegar a 100.

En cambio no vamos a tomar las extensiones que surgen prolongando la extensión de grado 9. Pienso que es la combinación de estos dos tipos de extensiones (y quizás otros tipos) la que crea interferencias en el orden de los primos. Por ejemplo lo vemos en cómo aparecen dos primos consecutivos en Y-, 5 y 7, que son extensiones de dos cuerpos base de grado 1 diferentes.

Entonces prolongando las extensiones de grado 3 obtenemos en Y + e Y – las siguientes:

​Si ponemos las extensiones de Y + en una línea superior y las de Y – en una línea inferior y las confrontamos, marcando con un círculo los primos, encontramos esta formación:

Si además ponemos debajo en otras dos líneas las extensiones que resultando de prolongar la extensión de grado 9, tendremos esta otra formación:

Y poniendo todas en la misma línea tenemos esta otra:

Entonces entiendo que esto puede interpretarse como que se puede lograr un orden espacial lógico en las distribución de determinados primos que dependen de un mismo grupo de Galois derivado de un mismo cuerpo inicial. (El cuerpo inicial del que derivamos las extensiones de 3, 7, etc no es el mismo del que derivamos las extensiones de 5, 9, etc.). Y que diferentes grupos de extensiones y subextensiones crean interferencias en este orden de primos. Estas interferencias también explicarían la presencia de pares de primos como en el caso de las extensiones 5 y 7 en Y-.

Las personas a quienes he consultado sobre estas representaciones visuales no han sabido decirme si son o no grupos, extensiones y subextensiones de Galois. Pienso que es debido a que casi no hay referencias visuales sobre la materia dada la forma abstracta y casi exclusiva y excluyentemente algebraica en que se ha desarrollado.

sin embargo sí que he encontrado unas pocas representaciones no algebraicas:

Una de ellas representa un ejemplo de correspondencia entre extensiones de Galois, (Ref. “A Book of Abstract Algebra”, C. Pinter). Esta estructura y la correspondencia con los elementos antisimétricos es similar a la correspondencia entre primos que he mencionado al principio. Primos que además serían representaciones numéricas de extensiones de Galois.

Otras representaciones visuales son estas de los profesores Malle y Matzat, que aparecen en su libro “Inverse Galois Theory”:

El problema de Galois inverso, y el problema de la inmersión (o en inglés “embedding”) consiste en hallar las extensiones intermedias que existen entre un cuerpo (en inglés “field”) base o inicial y una extensión determinada de ese cuerpo. Se llama “extensión” a un campo o conjunto o estructura, que es mayor que otra más pequeña que otra y que contiene a esta.

Quería comentar antes de terminar que me han bloqueado la participación en la web de Reddit.com en r/math y r/badmathematics, al parecer porque hay gente que no le hacen gracia mis posts y dicen que son spam. Pero quería destacar uno de los comentarios que me hicieron antes del bloqueo en post post similar a este que publiqué antes:

Antes de criticar algo habría que tratar de entenderlo. Pero una persona que pregunta “Also why don’t you include 17 + 73 = 90 in your list?” está confirmando claramente lo que ha dicho al principio, que no ha entendido nada…

Los números 17 y 73 siguen un grupo de extensiones diferente (las extensiones 5 y 9 que dependen del cuerpo incial 1) que interfiere en la secuencia de las otras 9las que siguen las extensiones 3 y 7). Los he representado por separado, aquí los voy a representar de nuevo poniendo las relaciones entre sí:

Voy a intentar aclarar el post un poco más por si alguien tiene la misma dificultad para entenderlo. Pienso que es normal que la gente que está acostumbrada a pensar sólo con álgebra se bloquee cuando ve un diagrama. El diagrama no es complicado sino muy simple. Las flechitas están ahí sólo para indicar la dirección de las prolongaciones. No tienen más significado metafísico que mostrar cómo siguen direcciones inversas o iguales. Lo que esta persona llama la extensión de grado 1 es el campo que he coloreado en amarillo, que se crea al trazar las dos curvas + (en azul) y – (en rojo) que van desde el punto cero (el centro de la circunferencia) hasta el punto 1 en la coordenada Y. El campo que forman podemos llamarlo extensión si pensamos que contiene una su extensión (o subcampo) menor en su interior, cosa que yo no he representado pero que se podría hacer. Como ese campo de grado 1 es nuestro punto de partida, lo llamo “cuerpo” base o inicial de grado 1 (que no es más que el campo del que partimos).

A ese cuerpo (o si se quiere extensión) inicial se le llama trivial porque no va a determinar (el término que se usa es “restringir”) la estructura de la extensión mayor que lo va a contener en su interior. (Esa estructura sólo la determinan las extensiones complejas que están sobre Z).

Entonces, si prolongamos esas dos curvas de grado 1, obtenemos dos extensiones, una de grado 5 en Y-, y otra de grado 9 en Y +. Si seguimos prolongando las curvas obtendremos una de grado 13 en Y-, una de grado 17 en Y+, y así sucesivamente. Estas extensiones, o campos que contienen al cuerpo inicial 1), no las vamos a tomar en cuenta porque siguen el grupo de Galois del cuerpo 1.

Cómo se pueden crear todas las extensiones intermedias que debería haber entre la extensión de grado 9 y la de grado 5, y entre la extensión de grado 5 y el cuerpo de grado 1?
Esa es la cuestión que se plantea con el llamado problema de Galois inverso y con la inmersión de las extensiones en otra extensión mayor. Para resolverlo es necesario crear un nuevo cuerpo inicial de grado 1, replicando el cuerpo inicial de grado 1 del que partimos.

Esos cuerpos adicionales de grado 1 los podemos formar de muchas maneras y así podemos sacar sus extensiones. Por ejemplo, se puede hacer así (aunque no es el caso que ahora estoy exponiendo sino un ejemplo para mostrar cómo replicar los cuerpos de grado 1 para componer las extensiones intermedias):

Pero ahora las extensiones que nos interesan son las que se forman en las coordenadas Y + e -, siguiendo el grupo de Galois que se forma al prolongar estos dos semicuerpos de signo contrario, que son las curvas inversas de las dos curvas iniciales de grado 1.

De manera que vamos a dibujar las dos curvas inversas de las dos curvas iniciales:

Podemos formar dos nuevos cuerpos enteros de grado 1 si así lo vemos más claro:

Pero sólo vamos a prolongar una de las curvas de cada uno, la mitad de cada uno. Y al hacerlo, creamos una extensión de grado 3:

Y va a ser esta extensión de grado 3 la que vamos a tomar como referencia para coger las extensiones que se forman sobre Y+ e Y- a partir de ella. Todas ellas van a estar referenciadas al Grupo de Galois que hemos formado con la mitad de esos dos nuevos cuerpos de grado 1 opuestos.

Y entonces vamos a formar una extensión de grado 7 en Y-

Y si prolongamos esta de grado 7, entonces obtendremos una extensión de grado 11 en Y +, y así sucesivamente, alternando Y+ e Y-

Y de las extensiones que saquemos de Y, destacamos con un círculo las que son primas.

Y a partir de ahí, habiendo suprimido la interferencia que crea en la secuencia de extensiones primas, las extensiones que se derivan del grupo que sigue al cuerpo inicial de grado 1 y a sus extensiones 5 y 9, podemos claramente ver un orden coherente en la secuencia de primos.

Lo que es muy diferente a suponer que yo he buscado los primos que suman 90 para conseguir una simetría de espejo de las extensiones primas. Dan ganas de echarse a reír.

Respecto a qués es la correspondencia entre las extensiones intermedias de un grupo de Galois, pueden leer más en este link: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_Galois_theory

En definitiva, este sería el resumen de este post:

Pasen ustedes un buen día.

Nota: en este post he utilizado 74 veces el término “extensiones”, 70 veces el término “Galois”, 50 veces el término “cuerpo” y 36 veces el término “primos”.

(Nota: La publicidad que puede aparecer abajo o en el blog la pone y es para beneficio de WordPress, la plataforma del blog, ya que el blog es gratuito aunque el dominio/url personalizado es de pago).

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Written by also65

mayo 30, 2018 at 1:46 pm

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