Divisiones para niñas y niños de primaria que piensan los por qués.

En España, en tercero de primaria, cuando tienen unos 9 años, las niñas y niños que piensan a cerca de los por qués de las cosas y tienden a lo visual, lo artístico y lo concreto, comienzan a confirmar con horror en sus notas del colegio que ellas y ellos no entienden las matemáticas (las matemáticas que se les enseñan, claro está).

Esto es una tragedia, no sólo para los peques sino para toda nuestra sociedad, porque siendo ellas y ellos los más dotados para el mundo de la ciencia – la ciencia es o debería de ser la que se pregunta a cerca de los fundamentos y los por qués de la naturaleza – son los que van a quedar excluidos desde el principio y de manera definitiva del ámbito científico. Sin matemáticas puede haber filosofía (como la entendemos hoy) pero no ciencia (como la entendemos también hoy).

Pero, por qué ocurre esto? A mi modo de ver ocurre porque no se les explica lo que se está haciendo, o se les explica de una manera abstracta, sin referencias visuales concretas, y se les explica además omitiendo algunos pasos – justamente los que son más importantes y menos obvios – mientras que otros menos fundamentales o más obvios les son explicados de manera expresa.

La niña o el niño que piensa los por qués no sabe a qué atenerse porque, qués sentido tiene que se expliquen expresamente unos pasos sí y otros no, o que se expliciten los pasos más sencillos y evidentes mientras que los pasos más complejos son omitidos? En base a qué se explican unos pasos y no otros? Eso no lo entienden las niñas y niños que se preguntan los por qués y les produce un gran desconcierto. Porque a veces les parece que se va demasiado lento para ellos mientras que otras veces, de forma inesperada y como aleatoria, se corre demasiado.

Las niñas y niños que se preguntan los por qués, y que se toman mucho interés en las cosas y se toman muy en serio eso de querer aprender, y los de sus notas, van siguiendo bien la explicación – paso por paso, pero de pronto se encuentran con que se ha dado un salto repentino y para angustia suya no saben cómo se ha llegado hasta ahí. Y lo que es peor, no se atreven a preguntarlo porque los demás niños, los que no piensan a cerca de los por qués sino que se conforman con operar con los pasos que se les han sido dados, parece como si hubieran entendido todos los pasos, incluidos esos cuya explicación no se ha dado nunca.

En realidad los niños que no piensan a cerca de los por qués tampoco han entendido los pasos omitidos pero para ellos eso no representa ningún problema, simplemente aprenden las reglas y las aplican cada vez más deprisa con la práctica mientras que los niños que piensan los por qués cada vez se sienten más confundidos y más bloqueados hasta que empiezan a suspender las “mates” y se hace evidente para ellos, sus profes y sus familias, eso de que “yo no valgo para las matemáticas”, en el mejor de los casos. Llegará incluso un día en el que aborrecerán y temerán cualquier cosa que contenga números. Ese gran temor es el lado inverso del gran deseo que un día tuvieron esas niñas y niños por conocer y comprender lo que no sólo no se les explicó sino que además se les hizo creer no eran capaces de entender y deducir con su sólo razonamiento lógico en el que muchas veces, y aun siendo tan dotados, tampoco confiarán ya.

Tomemos como ejemplo el caso de las divisiones. Cuando son divisiones pequeñas no tienen problemas porque aplican las reglas de multiplicar que con tanto esfuerzo aprendieron de memoria (sin saber tampoco lo que estaban haciendo) – cuanta más memoria tienen los peques menos necesitan usar de la deducción y la inducción lógicas y menos problemas tienen en este sentido -. Pero cuando los números son mayores y los divisores son de dos cifras, entonces empiezan a hacer aguas seriamente.

Por ejemplo, qué hace un peque cuando le decimos que divida 42 / 3.

Primero coge el 4, y busca un número que multiplicado por 3 sea igual o menor que 4. No se sabe muy bien por qué hay que buscar ese número ni para qué, pero es una operación no muy compleja. Perfecto, tenemos que usar el 1. Así que 1 x 3 = 3, ponemos el 3 debajo del 4 y lo restamos (la resta la escriben explícitamente por que así se les ha enseñado, ya que están aprendiendo todavía). Así que nos queda un 1 como resultado de restar 4 – 3.

Y entonces es cuando viene esa frase aberrante que decir “y ahora bajamos el 2”. Pero vamos a ver, qué es eso de que ahora bajamos el 2? El 2 de dónde se baja? De la línea de arriba a la de abajo? Bajamos el 2, y con el 1 del resto de antes formamos un 12, así como por arte de magia… No, no, no, no por favor, las niñas y los niños que piensan no pueden entender eso, necesitan que se les explique ese paso de forma concreta y explícita, necesitan entender qué ha pasado ahí, qué significa eso de bajar el 2 y cómo se puede formar un nuevo número de esa manera que tendremos que dividir de nuevo por el 3.

La niña y el niño que piensan los por qués a duras penas podrán seguir adelante si no han entendido este paso fundamental. Si consiguen seguir adelante, el siguiente paso es fácil porque se saben la tabla de multiplicar del 3, y pueden decir con alivio que 12 / 3 es = 4.

Pero entonces se encuentran con un nuevo misterio inexplicado, y es que en el cociente tienen un 1 y un 4, y que esos dos números, por arte de birle y birloque, sin entender cómo ni por qué, se juntan para formar 14, que nos da el resultado de la división.

Al final, la niña y el niño que piensan los por qués sienten tanta inseguridad y desconcierto que lo próxima vez no sabrán con certeza dónde tienen que colocar los números.

Esto sé con seguridad que es así porque lo he experimentado en mí mismo de pequeño, sólo me he dado cuenta de ello mucho más tarde, y estoy viendo ahora cómo a mi pequeña sobrina le está pasando lo mismo. Cuantas niñas y niños que piensan los por qués no estarán pasando apuros ahora mismo con esta historia de las divisones no explicadas racionalmente desde el principio?

El caso es que aunque yo pueda explicárselo hoy de forma que ella lo entienda, lógicamente y paso por paso, va a llegar un día, cuando venga a preguntarme por ejemplo sobre los números irracionales, que le tendré que decir que hay materias en matemáticas que no se han entendido bien desde hace al menos 20 siglos y que habría que buscar soluciones alternativas a la que ha venido usándose de los infinitos decimales, lo que supone pensar y revisar de los fundamentos qué es el número y por qué la geometría ha sido desplazada de las matemáticas en favor del álgebra. Y eso ya va a ser más difícil, no porque no pueda entender el problema y pensar sobre ello sino porque eso no le va a sevir para aprobar las matemáticas operativistas que se enseñan hoy.

Pero en fin, centrándonos en las divisiones, hay que darse cuenta de que en las operaciones de cálculo lo que se intenta siempre es buscar la cantidad más sencilla con la que operar. Así en vez de usar 43, podemos usar 40 que es más sencillo, y en vez de usar 40 podemos usar 4, lo que hace las cosas aun más sencillas.

Pero tenemos que darnos cuenta de que cuando cogemos 4 para dividirlo por 3, no estamos cogiendo 4, estamos cogiendo 40, es decir 10 veces 4. Esas diez veces se pueden representar poniendo, explícitamente, un cero entre paréntesis detrás del 4, para que veamos que en realidad estamos trabajando con 40.

Por ello, cuando en el divisor ponemos 1, tendremos que poner también un 0 entre paréntesis, ya que el divisor no es 1, sino que en realidad es diez veces 1, 10×1 = 10. Así que no restamos sólo 4 – 3, sino que estamos restando en realidad 40 – 30 y es resultado es 10, no 1.

Cuando bajamos el 2, lo que hacemos es sumar el 2 al 10 que tenemos de resto, obteniendo 12.

Dividimos entonces el 12 entre 3 y nos da 4, (que aquí es sólo 4 y no 40, porque ya no estamos trabajando con 20 sino sólo con 2), y lo sumamos al cociente 10 que teníamos de antes, de manera que 4 + 10 = 14.

Cuando dividimos 42 / 3 lo que hacemos es preguntarnos cuántos grupos de 3 elementos podemos formar si tenemos 4 elementos. Podemos verlo representado en el dibujo de las bolitas arriba. Hay 3 bolitas azules que forman un grupo, y una bolita roja que queda sin grupo, dentro del grupo de 4. O sea, el dividendo son 4 elementos (o un grupo de 4), el divisor son 3 elementos, el cociente es 1 (un grupo de tres elementos) y el resto es 1 (un elemento que queda sin grupo).

Pero como no tenemos 4 elementos sino 40, 10 grupos de 4 elementos, esos resultados habrá que multiplicarlos por 10, lo que se consigue poniendo un cero detrás. (10 x 4 = 40 es lo mismo que decir que un grupo de 4 lo repetimos 10 veces, 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4, o que un grupo de 10 lo repetimos 4 veces 10+10+10+10). Del mismo modo, no nos queda sin agrupar una sóla bolita roja sino 10, porque tenemos 10 grupos de 4.

Y a esas 10 bolitas rojas que nos quedan sin agrupar, les sumamos las 2 bolitas rojas que no tenían ningún grupo. Así dividimos de nuevo 12 / 3 para ver cuántos grupos de 3 bolitas podemos formar si tenemos un total de 13 bolitas rojas.

Si a usted todas estas explicaciones le parecen exagerada e innecesariamente complejas, es porque usted ha sido (y de alguna forma aun es) una niña o un niño que no piensa los por qués y los para qués sino sólo los cómos, pero ese caso me parece bastante improbable si es que ha llegado usted a leer hasta esta línea.

Todavía se pueden decir más cosas sobre esto, porque hay algunas otras variantes que habría que explicar, pero el fundamento es el mismo.

He hecho también un dibujo de las multiplicaciones para las niñas y los niños que se preguntan los por qués.

No, no multiplicamos por 4 y le sumamos 1 “que nos llevamos” del 6, en realidad multiplicamos por 40, y al resultado le sumamos las 10 que no hemos puesto del 16 (ya que cuando multiplicamos 4X4 sólo hemos puesto 6 en lugar de 16).

Una vez que se entienden los fundamentos, se resuelven los temores y bloqueos se practica, los pasos se pueden ir voluntariamante simplificandio y omitiendo, pero sólo entonces. Pero si no se entiende el fundamento, las niñas y los niños que se preguntan los por qués están perdidos.

Ellas y ellos, todavía podrían preguntar mas por qués, cada vez más profundos, como qué representan los números. Alguien debería decirles que las matemáticas no consisten en realizar operaciones de cálculo cada vez más rápidas como si fueran maquinitas de cómputo, a ser posible cuánticas!!!, robots descerebrados que ejecutan a ciegas los pasos programados o loritos reales que repiten una y otra vez lo que alguien les dijo. Ellas y ellos son personas pensantes, dotadas de inteligencia y razón.

Las matemáticas consisten en la comprensión, la representación, la medición y el manejo de los espacios, de sus distribuciones y sus simetrías y asimetrías. Los números no son entes abstractos que se puedan manejar de forma automática, son representaciones de las simetrías y asimetrías de los espacios, ya que aunque hablemos sólo de cantidades, toda cantidad implica una distribución y si hay distribución tiene que haber un espacio, y si hay un espacio tiene que haber un centro y, respecto de él, una simetría o asimetría.

Si su hija o su hijo se afana y suspende las matemáticas y le dice, por más que le explique los pasos, “es que no lo entiendo!”, no piense usted que es que a ella o a él no se le dan bien las matemáticas, lo que le pasa es justamente todo lo contrario.

Pasen ustedes un feliz tarde.

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