“Geometría e imaginación” de David Hilbert. Una lectura crítica.

Un amable profesor de matemáticas ruso a quien envié por email unas figuras geométricas preguntándole su opinión me recomendó un libro de David Hilbert titulado en inglés “Geometry and the Imagination” (“Geometría e imaginación”); el título original en alemán es “Anschauliche Geometrie” (Geometría descriptiva”). Por su puesto, no estás traducido al español, ¿para qué iba a estarlo?

La traducción al inglés hecha por P. Nemenyi se publicó en 1952 y después de varias reimpresiones fue publicada de nuevo en 1999 por la Sociedad Americana de Matemáticas. He leído en algún sitio que la traducción inglesa está muy bien hecha. Es una pena no haber estudiado alemán, prácticamente – con algunas excepciones – toda la matemática, la física y la filosofía más importante de los siglos 19 y 20 ha sido hecha por alemanes.

Hilbert es unos de los matemáticos más influyentes y con más prestigio de los dos últimos siglos y su propósito en esta obra – que surgió de unos cursos que dio en Alemania al público no especializado – era presentar la geometría sin ecuaciones algebraicas ni cálculos ni tecnicismos, hacerla accesible para el disfrute del público en general. Así que compré al momento el libro en Amazón y comencé a leer la primera página en Google books.

Empieza así: “La superficie más simple es el plano. Las curvas más simples son las curvas planas; la más simple de ellas es la recta”.

No entiendo muy bien por qué considera la recta como la curva más simple. Me imagino que está pensando en la recta como una curva con la curvatura más simple, es decir, con la menor curvatura posible, o sea, sin curvatura ninguna, con curvatura cero; Si es así, me parecería un punto de vista equivocado ya que supone comenzar la geometría a partir de la curva en vez comenzar con la recta. Nuestras mediciones están basadas desde el comienzo en la línea recta que tomamos como referencia y en el cuadrado que construimos con ella. La medición del círculo sólo pudo comenzarse después, al construirlo haciendo rotar nuestro segmento de referencia primaria.

A continuación define la recta como “la distancia más corta entre dos puntos”. Y ¿qué es la distancia? Para mi la distancia es la longitud que medimos en base a un segmento de referencia primera cuya longitud “primaria” hemos aceptado, haciendo una abstracción, como referencia métrica. Pensemos por ejemplo en el codo, en el pulgar, en el pie, en el palmo… tomamos esa longitud y hacemos la abstracción de considerar que ese espacio, esa distancia, tiene un valor específico, por ejemplo 1. No medimos cuántos puntos o líneas caben dentro de ese segmento, convenimos darle un valor inicial de 1, aceptando esa abstracción. Sin embargo no se trata de una abstracción total ya que en el centro de ese segmento de referencia métrica primero hay un punto que determina una perfecta simetría dividiendo al segmento en dos partes iguales. Así una línea recta es un segmento que creamos en base a la repetición consecutiva del segmento de referencia métrica primera. Uniendo dos segmentos de valor 1 podemos construir una nueva referencia métrica y darle valor 2, lo que respeta la simetría originaria del 1 ya que podemos poner un segmento de 1 a la izquierda y otro segmento de 1 a la derecha de un punto central. Cuando ponemos de forma consecutiva un segmento de 1 y un segmento de 2, la simetría se rompe, hay más espacio en el segmento de dos que en el de 1, pero podemos restaurarla creando un nuevo segmento de referencia, el 3, basado de nuevo en la unidad 1+1+1: ahora podemos colocar un segmento 1 a la izquierda y otro 1 a la derecha de un segmento central 1 que tiene un punto central en su mitad. Y así es como vamos creando nuevos segmentos de referencia que representan segmentos primos, es decir números primos.

A mi modo de ver la geometría no se puede separar del número ni de la simetría que este representa. No se puede despojar al número de su significado espacial y distributivo original y convertirlo en un símbolo aséptico susceptible de ser usado maquinalmente como si fuera un objeto abstracto. Todo número, toda cantidad mayor de 1 representa una distribución, no pueden existir números, ni siquiera en las fantasías más abstractas de algunos matemáticos, sin que haya una distribución – delante, detrás, derecha, izquierda, arriba, abajo, etc – y distribución implica espacio. No existen números sin espacio, de manera que no pueden existir números sin geometría.

La algebraicización y aritmetización extremas que se han hecho en la matemática de los dos últimos siglos, despojándola de su significado primero como si se tratase de un lenguaje que podemos usar aplicando una serie de reglas aunque no tengan ningún sentido, nos ha llevado al punto de que el profesor Hilbert tuviera que escribir con un discípulo suyo un libro de geometría sin álgebra ni aritmética para los pobrecillos de nosotros – la sociedad corriente, no matemática – que no entendemos las cosas abstractas y simbólicas si no tenemos una referencia visual, podamos hacernos una idea de por dónde van las cosas. Pero vamos a ver lo que dice Hilbert en su libro, porque yo ya tengo mucha curiosidad. Mi propósito es ir comentando aquí lo que no entienda o me parezca incorrecto.

A continuación Hilbert dice que la recta también puede ser la intersección de dos planos o un eje de rotación. (Yo creo que la traducción de “als schnittkurve zweier Ebnen” como “intersección entre dos planos”o como “curva de intersección entre dos planos” no me parece muy clara, yo al menos no la entiendo, pero bueno, veremos si lo aclara más adelante).

“La siguiente (después de la recta, que es la curva más simple) curva más simple es el círculo”… “Definimos el círculo como la curva cuyos puntos están a la misma distancia de (son equidistantes a) un punto dado”…

“Es evidente que el círculo es una curva cerrada y convexa en todas sus partes”.

Esta última frase me parece muy importante. A mi ya me dice que Hilbert no conocía la naturaleza compleja del círculo. Para mi, como ya he comentado en anteriores posts, el círculo no es en todas sus partes convexo, es en unas partes convexo y en otras cóncavo. Toda curva es convexa o cóncava dependiendo de si la estamos considerando desde fuera o desde dentro, desde su parte exterior o interior. Y el círculo, seamos conscientes de ello o no, estamos midiendo unas veces desde fuera y otras desde dentro de la curvatura.

En matemáticas se ha llamando hiperbólica a las geometría relativa a las curvaturas cóncavas (por ejemplo la curvatura de un cilindro más estrecho por el centro es cóncava), a las que se ha atribuido signo negativo, y se ha llamado parabólica a las geometría relativa a las curvaturas convexas (por ejemplo la curvatura de la esfera es convexa) a las que se ha atribuido signo positivo. El signo es un símbolo que usamos para determinar una posición en el espacio, una distribución, una simetría o una falta de simetría: a la derecha de una línea es positivo y a la izquierda negativo, arriba de una línea es positivo y abajo de ella negativo, lo que aumenta es positivo y lo que disminuye negativo, lo que se acelera es positivo y lo que se desacelera negativo, lo que se agranda es positivo y lo que se disminuye decimos que es negativo.

Todas la mediciones que hacemos del espacio se hacen (o se hicieron en un principio) en base a un segmento de referencia recto en un espacio plano, y en base a un cuadrado de referencia construido con ese segmento en ese espacio plano. ¿Qué es un cuadrado de referencia? Pues el cuadrado cuyo lado (cuya raíz cuadrada) está formado por nuestro segmento primero de referencia métrica, el que usamos como referencia para medir longitudes lineales (la longitud del pié, del pulgar, del codo, del palmo, etc que adoptamos como referencia métrica primera). El área de ese cuadrado es otra abstracción, nunca hemos medido cuántos puntos o líneas caben dentro de ese espacio cuadrado, de algún modo se acordó dar el valor elemental, el valor 1, al área contenida en ese cuadrado. Pero tampoco se trata de una abstracción pura porque en el centro del cuadrado hay un punto que determina su perfecta simetría, la que está de acuerdo con la simetría del segmento 1.

Es por ello que los números no pueden tratarse como instrumentos carentes de referencia espacial, los números están representando siempre una simetría específica. Cuando decimos “2”, ¿en qué estamos pensando, en uno detrás de otro, en uno encima de otro? ¿pensamos en el área de valor 2 de un cuadrado cuyo lado es la raíz cuadrada de 2, o pensamos en el lado de un cuadrado cuya área es de valor 4? Porque no es lo mismo pensar en la raíz cuadrada de 2 elevado al cuadrado que en la raíz cuadrada de 4. Las simetrías son diferentes y las magnitudes resultan inconmensurables entre sí de forma directa.

El problema que subyace en el círculo es el problema no suficientemente resuelto de la irracionalidad, de la inconmensurabilidad de ciertas longitudes en base a nuestra referencias métricas basadas en la unidad. La irracionalidad está también en el origen de la ruptura no suficiente,ente resulta entre aritmética, el número, y geometría, que tuvo lugar en Grecia.

La irracionalidad aparece cuando dentro de nuestro cuadrado de referencia 1 trazamos una diagonal. Esa diagonal dentro de nuestro cuadrado de referencia métrica primera para medir áreas no está proporcionada con nuestro segmento de referencia primera para medir longitudes lineales. Cuando creábamos nuevas referencias métricas “primas” lo hacíamos salvando la desproporción que surgía volviendo a la unidad. Pero aquí no podemos acudir a esa unidad para restaurar la desproporción que surge con la diagonal porque esa desproporción no ha surgido de las coordenadas cuadradas sobre las que construimos nuestras referencias primarias. La desproporción de la diagonal no tiene como base la unidad. Tiene como base una unidad que ha sido transformada.

Cuando trazamos la diagonal Z no estamos simplemente creando una coordenada más en nuestro espacio o plano, como hicimos con las coordenadas X e Y; lo que estamos haciendo (siempre que queremos usar Z al mismo tiempo que X e Y) es crear un nuevo plano sobre el mismo espacio desplazado con respecto al plano de X e Y. De manera que la coordenada Z + no es más que la coordenada Y+ desplazada hacia el punto que hemos llamado Z. El efecto de este desplazamiento de Y hacia Z dejando Y anclada y creando a la vez el desplazamiento, es el mismo que si estuviéramos expandiendo el espacio. Estamos usando dos planos diferentes, uno que está estático, el de Y, y otro que se ha desplazado desde Y rotando hacia la derecha, hasta convirtiéndose en Z. Y cuando Z+ se desplaza hacia X+ el efecto es equivalente a la contracción del espacio sore el que estamos trabajando. Al hacer esa transformación estamos cambiando nuestro segmento de referencia primaria, expandiéndolo al desplazarlo de Y hacia Z y devolviéndolo a su longitud original, contrayéndolo, al desplazarlo de Z hacia X

De manera que la desproporción de la hipotenusa con respecto a los lados del teorema de Pitágoras surge por la introducción de un nuevo plano que se desplaza con respecto al plano de referencia, y ese desplazamiento causa una transformación por expansión (desplazamiento de Y hacia Z) o contracción (desplazamiento de Z hacia X) de nuestro segmento de referencia primaria 1.

Podemos considerar una nueva área prima al cuadrado de área 2 que construimos sobre la hipotenusa de nuestro cuadrado de referencia 1 ( de lado y área 1). El problema es que ese área prima 2 no está construida en base a nuestro segmento de referencia 1 sino en base a un segmento de referencia transformado, lo que supone que tendríamos que trabajar en base a infinitos segmentos de referencia primaria nuevos, y cuadrados de referencia primaria nuevos. Otra opción sería considerar a esos cuadrados primarios en base a su hipotenusa racional en vez de considerarlos como se está haciendo ahora en base a su raíz cuadrada (a su lado) que es irracional. Porque la hipotenusa racional de los cuadrados de raíz irracional sí está proporcionada con nuestro segmentos de referencia 1. Así por ejemplo en el cuadrado de área 2, en vez de referirnos a su lado que es irracional podemos referimos a su hipotenusa que es racional ya que es la raíz cuadrada de 4, es decir 2, o sea 1+1, lo que respeta la simetría originaria de nuestra unidad primaria.

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pythagorean_triangles_0001

A mi modo de ver todo el cálculo se ha desarrollado n base al uso de infinitos decimales, sin haber entendido ni resuelto el problema de la irracionalidad, usando los redondeos para poder manejar los infinitesimales. A mi no me parece correcto. Los redondeos cuando se trata de medidas asumibles, por ejemplo al construir una casa, pues no tienen grandes consecuencias, pero cuando se trata de medidas infinitamente grandes o infinitamente pequeñas, pues sí tienen consecuencias. De ahí que para ganar en exactitud se precisen máquinas cada vez más potentes que realicen más y más cálculos cada vez más de prisa, lo que es una descabellada locura. Cuántos decimales se llevan calculados de Pi? Y cuántos cálculos hay que hacer para hallar nuevos números primos sin haber entendido la geometría de lo que se está tratando? Todavía no se sabe a qué responde el orden de los primos, pero es que tampoco se ha entendido que son los primos. No se ha entendido que un número primo es la expresión de una asimetría.

En el círculo están presentes la simetría racional – la que se refiere a nuestro segmento de referencia de longitud 1 (con la simetría específica que ello implica) y a nuestro cuadrado de referencia de área 1 (con la simetría específica que ello implica) – y la simetría irracional – la que se refiere al segmento de referencia transformado al desplazar el nuevo plano y al área cuadrada que construimos con él.

La simetría racional está presente en el cuadrado de área 4, exterior al círculo, que toca con sus cuatro lados al círculo en las coordenadas X Y. La simetría irracional está presente en el cuadrado de área 2, interior al círculo, que toca con sus cuatro esquinas al círculo en las coordenadas Z.

De manera que no me parece correcto decir como dice Hilbert que toda la curvatura el círculo es convexa, (parabólica, positiva), ya que la curvatura es convexa en los puntos en los que es tocada desde afuera por el cuadrado de área 4, mientras que es cóncava en los puntos en los que es tocada desde adentro por el cuadrado de área 2.

Darse cuenta de esto es fundamental. La desproporción que aparece al comparar el diámetro y el perímetro, y que se manifiesta en los infinitos decimales del número Pi, es la consecuencia de estar comparando – sin darse cuenta de ello – dos tipos de referencias métricas distintas con las diferentes simetrías que conllevan.

Que se trata de referencias métricas distintas aparece claramente cuando dividimos los cuadrados implicados en la circunferencia y sacamos sus puntos centrales de simetría. Así dividimos el cuadrado de área 1 en cuatro cuadrados de área 0,25; dividimos el cuadrado de área 2 en cuatro cuadrados de área 0,50, y dividimos el cuadrado de área 1; sacamos el punto central de cada uno de esos cuadrados (trazando las dos diagonales dentro de cada uno) y medimos a través de cualquiera de las diagonales Z la longitud del segmento que va desde el centro de la circunferencia (e punto cero) hasta el centro de cada uno de esos cuadrados.

Entonces vemos que los cuadrados de área 0,25, 1 y 4, se rigen por el mismo segmento, el mismo intervalo repetido n número de veces, mientras que los cuadrados de 0,50 y 2 se rigen por un segmento diferente, un intervalo distinto. Como hemos medido por la diagonal, el intervalo de los cuadrados de 0,25, 1 y 4 será irracional (relativo a su hipotenusa) mientras que el intervalo de los cuadrados 0,50 y 3 será racional (cuando el lado es racional la hipotenusa es irracional).

Pienso que esos intervalos de referencia métrica es lo que Hermann Weil llamó “Gauges”.

gauges_1

Ahora bien, si repetimos los intervalos de forma consecutiva a lo largo de la diagonal vemos que hay un momento en que los intervalos racional e irracional convergen.

RiemannZeros

Así podemos ver los siguientes puntos:

Punto cero, en el centro de la circunferencia (Se parte de la convergencia del puntos azul y rojo)

1 punto azul (intervalo azul 1)
1 punto rojo (intervalo rojo 1)
2 punto azul (intervalo azul 2)
2 punto rojo (intervalo rojo 2)
3 punto azul (intervalo azul 3)
XXXXXX (No hay punto rojo)
4 punto azul (intervalo azul 4)
3 punto rojo (intervalo rojo 3)
5 punto azul (intervalo azul 5)
4 punto rojo (intervalo rojo 4)
6 punto azul (intervalo azul 6)
XXXXXX (No hay punto rojo)

Punto cero (Los puntos azul y rojo convergen al final del 7º intervalo azul y el 6º intervalo rojo).

Pienso que los intervalos comprendidos dentro de las dos filas marcadas con XXXX serían una representación de lo que en términos musicales se conoce como “tritono”, que creo que es una parte de la escala musical que es considera disarmónica. La diagonal parece de hecho la representación de una escala musical.

geometry_phimg

Cada punto de convergencia periódica, en el centro de cada circunferencia, sería un cero complejo o no trivial en la función Z de Riemann, cuando se trata de encontrar la periodicidad en la aparición de los números primos, y que a través de la diagonal se podrían representar los números primos y no primos como áreas cuadradas formadas a partir del desplazamiento del cuadrado de 1 por la diagonal. Cuando se produce la convergencia entre intervalos el área cuadrada que se formaría sería no prima. El lado de esos cuadrados se mediría desde el punto cero de origen hasta el vértice superior derecho del cuadrado de 1 desplazado por la diagonal.

Saber que en el círculo intervienen dos tipos de simetría diferentes que convergen periódicamente, permite explicar la circunferencia en términos cuadrados. La cuadratura del círculo, es decir la construcción de un cuadrado de área igual a la de un círculo, se demostró imposible en el Siglo XIX. Pero esta imposibilidad está basada en tratar de explicar el círculo en términos de un cuadrado único y estático, on una simetría racional basada en las coordenadas XY, cuando en el círculo participan dos cuadrados con simetrías diferentes. Para cuadrar el círculo deberían usarse dos cuadrados, el racional y el irracional, es decir, un cuadrado que se expande y se contrae periódicamente dando lugar a una transformación periódica de las dos simetrías, haciendo de puente entre una y otra.

Esto se ve claramente si proyectamos el cuadrado primario de área 1 a través de la diagonal Z, siguiendo uno de los intervalos que hemos sacado anteriormente, hasta tocar el círculo en su parte convexa con la equina inferior izquierda del cuadrado

squaring_circle1

Ello supone tres desplazamientos del cuadrado 1, es decir 1+1+1=3. Pero 3 no nos da el área del círculo de área 1 porque la medición la hemos hecho hasta el punto que representa una de las geometrias; para obtener el área total del círculo es necesario desplazarlo el cuadrado 1 hasta el punto que representa la otra simetría que participa en el círculo. Ese parte de área que falta está representada en el dibujo de arriba por la pequeña franja azul. Al hacer este desplazamiento extra, hacemos que el vértice superior derecho del cuadrado 1 toque el punto donde concurren las dos intervalos.

Ello supone que en el área del círculo no pueden infinitos decimales, porque la convergencia implica divisibilidad. Lo que implica decir que Pi, siendo un número válido aritméticamente, es conceptualmente erróneo porque las premisas de las que se parten son erróneas por insuficientes al no estar contemplando la totalidad de la realidad – las dos simetrías – que concurre en el círculo y en la circunferencia. Darse cuenta de eso supone replantear los fundamentos más básicos de las matemáticas que se han desarrollado en los 20 últimos siglos. Y eso es algo que va a costarles mucho a los matemáticos, así que va a llevar tiempo.

Intentaré seguir con este post cuando tenga tiempo continuando con la lectura del libro de Hilbert.

Feliz semana!

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